Ο Παράσχος Αυγητίδης γεννήθηκε τον Απρίλιο του 1937 στη Θεσσαλονίκη. Ξεκίνησε το ποδόσφαιρο αγωνιζόμενος στη θέση του τερματοφύλακα από τοπικές ομάδες της Θεσσαλονίκης και στα 16 του εντάχθηκε στο δυναμικό του Απόλλωνα Καλαμαριάς. Το ταλέντο του τον έκανε να ξεχωρίσει από την αρχή και δεν άργησε να καθιερωθεί στην ομάδα της Καλαμαριάς, της οποίας έγινε βασικός τερματοφύλακας.
Το καλοκαίρι του 1962 ήρθε στον Ολυμπιακό με μεταγραφή από την Καλαμαρια και μαζί με τον Γιάννη Φρονιμίδη αποτέλεσαν ένα δυνατό ντουέτο τερματοφυλάκων. Ο Αυγητίδης συνυπήρξε με μεγάλους άσους όπως ο Γιώργος Σιδέρης, ο Νίκος Γιούτσος, ο Κώστας Πολυχρονίου και άλλοι. Ήταν μέλος της μεγάλης ομάδας που έφτιαξε ο Μάρτον Μπούκοβι, πράγμα που από μόνο του αποτελεί παράσημο – ωστόσο ο Αυγητίδης ήρθε με μεταγραφή από την Καλαμαριά το 1962 και υπερασπίστηκε το τέρμα του Ολυμπιακού τις επόμενες χρονιές μαζί τους επίσης πολύ καλούς γκολκίπερ Γιάννη Φρονιμίδη και Ξαρχάκο.
Ο Παράσχος Αυγητίδης είχε σημαντική συμβολή στις επιτυχίες του Ολυμπιακού στο διάστημα 1962-1967. Μάλιστα το 1966 αγωνίστηκε στα ιστορικά παιχνίδια με την πανίσχυρη – τότε – ΤΣΣΚΑ Μόσχας, την οποία ο Ολυμπιακός νίκησε 1-0 στο δεύτερο παιχνίδι. Ήταν γνωστός και στους “κοσμικούς” κύκλους αφού διατηρούσε δεσμό με μια εκ των γνωστότερων εκπροσώπων του ελαφρολαϊκού τραγουδιού, την Καίτη Μπελίντα. Δέχτηκε – ως γκολκίπερ του Απόλλωνα Καλαμαριάς – το πρώτο γκολ στην ιστορία της Α’ Εθνικής, σε αγώνα με αντίπαλο την Προοδευτική (στον οποίο, σύμφωνα με τα ρεπορτάζ του τύπου, είχε διαπρέψει). Όταν σταμάτησε το ποδόσφαιρο ασχολήθηκε με τις επιχειρήσεις και μετανάστευσε στη Νότια Αφρική. Δραστηριοποιήθηκε στον χώρο της υποδηματοποιΐας και υπήρξε από τα σεβαστά μέλη της ισχυρής Ελληνικής επιχειρηματικής κοινότητας στη Νότια Αφρική.
Ο Παράσχος Αυγητίδης απεβίωσε στις 18 Μαΐου του 2019 σε ηλικία 82 ετών.